刑事案件的立案工作主要由以下机关负责：
公安机关：
负责侦查大多数刑事案件，包括由公民、法人或其他组织报案、控告、举报以及犯罪嫌疑人自首等途径发现的犯罪事实。
人民检察院：
负责侦查特定类型的刑事案件，如贪污贿赂犯罪、国家工作人员的渎职犯罪、国家机关工作人员利用职权实施的非法拘禁、刑讯逼供、报复陷害、非法搜查等侵犯公民人身权利的犯罪，以及其他需要由人民检察院直接受理的重大犯罪案件。
国家安全机关：
负责侦查涉嫌危害国家安全的刑事案件。
监狱：
负责侦查监狱内发生的犯罪案件。
军队保卫部门：
负责侦查军队内部发生的刑事案件。
人民法院：
可以直接受理一些刑事案件，这些案件通常被称为自诉案件，包括侮辱、诽谤案件（严重危害社会秩序和国家利益的除外）、暴力干涉婚姻自由案件、虐待案件、侵占案件等。
总结：
公安机关是主要的刑事立案机关，负责大部分刑事案件的侦查工作。
人民检察院负责特定类型的刑事案件的侦查。
国家安全机关、监狱和军队保卫部门分别负责各自管辖范围内的刑事案件。
人民法院负责自诉案件的立案和审理。
建议：
报案人或犯罪嫌疑人应根据案件性质向相应的公安机关、人民检察院或其他机关报案或自首。
司法机关在接到报案或自首后，会按照管辖范围迅速进行审查，并在认为有犯罪事实需要追究刑事责任时予以立案。
